达州将开展“网络市场监管行动”重拳整治市场乱象

Euclid, nhà toán h?c Hy L?p, th? k? th? 3 tr??c Tay l?ch, theo hình dung c?a h?a s? Raphael, trong m?t chi ti?t c?a b?c h?a "Tr??ng Athens".

百度 记者从省气象台了解到，这个冬季(2017年12月至2018年2月)全省降水正常；气温特低，为1961年以来历史同期第8位。

Toán h?c hay g?i t?t là toán (ti?ng Anh: Mathematics ho?c vi?t t?t là Math) là m?t ngành nghiên c?u tr?u t??ng v? nh?ng ch? ?? nh? l??ng (các con s?), c?u trúc (t?p h?p, t? p?), kh?ng gian (hình h?c, h? to? ??, vector), kh? n?ng (xác su?t, bi?n ng?u nhiên) và s? thay ??i (hàm s?, gi?i h?n, ??o hàm, vi phan, tích phan). Các nhà toán h?c và tri?t h?c có nhi?u quan ?i?m khác nhau v? ??nh ngh?a và ph?m vi c?a toán h?c.

Các nhà toán h?c tìm ki?m các m? th?c và s? d?ng chúng ?? t?o ra nh?ng gi? thuy?t m?i. H? ly gi?i tính ?úng ??n hay sai l?m c?a các gi? thuy?t b?ng các ch?ng minh toán h?c. Khi nh?ng c?u trúc toán h?c là m? hình t?t cho hi?n th?c, lúc ?ó suy lu?n toán h?c có th? cung c?p s? hi?u bi?t sau s?c hay nh?ng tiên ?oán v? t? nhiên. Th?ng qua vi?c s? d?ng nh?ng ph??ng pháp tr?u t??ng và l?gic, toán h?c ?? phát tri?n t? vi?c ??m, tính toán, ?o l??ng ??n vi?c nghiên c?u có h? th?ng nh?ng hình d?ng và chuy?n ??ng c?a các ??i t??ng v?t ly. Con ng??i ?? ?ng d?ng toán h?c trong ??i s?ng t? xa x?a. Vi?c tìm l?i gi?i cho nh?ng bài toán có th? m?t hàng n?m, hay th?m chí hàng th? k?.

Nh?ng l?p lu?n ch?t ch? xu?t hi?n tr??c tiên trong n?n toán h?c Hy L?p c? ??i, ?áng chú y nh?t là trong tác ph?m C? s? c?a Euclid. K? t? nh?ng c?ng trình tiên phong c?a Giuseppe Peano (1858–1932), David Hilbert (1862–1943), và c?a nh?ng nhà toán h?c khác trong th? k? 19 v? các h? th?ng tiên ??, nghiên c?u toán h?c tr? thành vi?c thi?t l?p chan ly th?ng qua suy lu?n logic ch?t ch? t? nh?ng tiên ?? và ??nh ngh?a thích h?p. Toán h?c phát tri?n t??ng ??i ch?m cho t?i th?i Ph?c h?ng, khi s? t??ng tác gi?a nh?ng phát minh toán h?c v?i nh?ng phát ki?n khoa h?c m?i ?? d?n ??n s? gia t?ng nhanh chóng nh?ng phát minh toán h?c v?n ti?p t?c cho ??n ngày nay.

Toán h?c ???c s? d?ng trên kh?p th? gi?i nh? m?t c?ng c? thi?t y?u trong nhi?u l?nh v?c, bao g?m khoa h?c, k? thu?t, y h?c, và tài chính. Toán h?c ?ng d?ng, m?t nhánh toán h?c liên quan ??n vi?c ?ng d?ng ki?n th?c toán h?c vào nh?ng l?nh v?c khác, thúc ??y và s? d?ng nh?ng phát minh toán h?c m?i, t? ?ó ?? d?n ??n vi?c phát tri?n nên nh?ng ngành toán hoàn toàn m?i, ch?ng h?n nh? th?ng kê và ly thuy?t trò ch?i. Các nhà toán h?c c?ng dành th?i gian cho toán h?c thu?n túy, t?c là ?ào r?t sau vào các ly thuy?t toán h?c. Kh?ng có biên gi?i r? ràng gi?a toán h?c thu?n túy và toán h?c ?ng d?ng, và nh?ng ?ng d?ng th?c ti?n th??ng ???c khám phá t? nh?ng gì ban ??u ???c xem là toán h?c thu?n túy.

L?ch s?

Nhà toán h?c Hy L?p Pythagoras (kho?ng 570–495 TCN), ???c coi là ?? phát minh ra ??nh ly Pythagore.

Bài chi ti?t: L?ch s? toán h?c

Nhà toán h?c Ba T? Al-Khwarizmi (Kho?ng 780-850 TCN), ng??i phát minh ra ??i s?.

T? "mathematics" trong ti?ng Anh b?t ngu?n t? μ?θημα (máthēma) trong ti?ng Hy L?p c?, có ngh?a là "th? h?c ???c", "nh?ng gì ng??i ta c?n bi?t," và nh? v?y c?ng có ngh?a là "h?c" và "khoa h?c"; còn trong ti?ng Hy L?p hi?n ??i thì nó ch? có ngh?a là "bài h?c." T? máthēma b?t ngu?n t? μανθ?νω (manthano), t? t??ng ???ng trong ti?ng Hy L?p hi?n ??i là μαθα?νω (mathaino), c? hai ??u có ngh?a là "h?c." Trong ti?ng Vi?t, "toán" có ngh?a là tính; "toán h?c" là m?n h?c v? toán s?. Trong các ng?n ng? s? d?ng t? v?ng g?c Hán khác, m?n h?c này l?i ???c g?i là s? h?c.

S? ti?n hóa c?a toán h?c có th? nh?n th?y qua m?t lo?t gia t?ng kh?ng ng?ng v? nh?ng phép tr?u t??ng, hay qua s? m? r?ng c?a n?i dung ngành h?c. Phép tr?u t??ng ??u tiên, mà nhi?u loài ??ng v?t có ???c, có l? là v? các con s?, v?i nh?n th?c r?ng, ch?ng h?n, m?t nhóm hai qu? táo và m?t nhóm hai qu? cam có cái gì ?ó chung, ? ?ay là s? l??ng qu? trong m?i nhóm.

Các b?ng ch?ng kh?o c? h?c cho th?y, ngoài vi?c bi?t ??m nh?ng v?t th? v?t ly, con ng??i th?i ti?n s? có th? c?ng ?? bi?t ??m nh?ng ??i l??ng tr?u t??ng nh? th?i gian - ngày, mùa, và n?m.

??n kho?ng n?m 3000 tr??c Tay l?ch thì toán h?c ph?c t?p h?n m?i xu?t hi?n, khi ng??i Babylon và ng??i Ai C?p b?t ??u s? d?ng s? h?c, ??i s?, và hình h?c trong vi?c tính thu? và nh?ng tính toán tài chính khác, trong xay d?ng, và trong quan sát thiên v?n. Toán h?c ???c s? d?ng s?m nh?t trong th??ng m?i, ?o ??c ??t ?ai, h?i h?a, d?t, và trong vi?c ghi nh? th?i gian.

Các phép tính s? h?c c?n b?n trong toán h?c Babylon (c?ng, tr?, nhan, và chia) xu?t hi?n ??u tiên trong các tài li?u kh?o c?. Gi?a n?m 600 ??n 300 tr??c Tay l?ch, ng??i Hy L?p c? ?? b?t ??u nghiên c?u m?t cách có h? th?ng v? toán h?c nh? m?t ngành h?c riêng, hình thành nên toán h?c Hy L?p. K? t? ?ó toán h?c ?? phát tri?n v??t b?c; s? t??ng tác gi?a toán h?c và khoa h?c ?? ?em l?i nhi?u thành qu? và l?i ích cho c? hai. Ngày nay, nh?ng phát minh toán h?c m?i v?n ti?p t?c xu?t hi?n làm cho toán h?c ngày càng ?a d?ng h?n.

C?m h?ng, thu?n túy ?ng d?ng, và v? ??p

Bài chi ti?t: V? ??p c?a toán h?c

Isaac Newton (1643–1727), m?t trong nh?ng ng??i phát minh ra vi tích phan.

Toán h?c n?y sinh ra t? nhi?u ki?u bài toán khác nhau. Tr??c h?t là nh?ng bài toán trong th??ng m?i, ?o ??c ??t ?ai, ki?n trúc, và sau này là thiên v?n h?c; ngày nay, t?t c? các ngành khoa h?c ??u g?i y nh?ng bài toán ?? các nhà toán h?c nghiên c?u, ngoài ra còn nhi?u bài toán n?y sinh t? chính b?n than ngành toán. Ch?ng h?n, nhà v?t ly Richard Feynman ?? phát minh ra tích phan l? trình (path integral) cho c? h?c l??ng t? b?ng cách k?t h?p suy lu?n toán h?c v?i s? hi?u bi?t sau s?c v? m?t v?t ly, và ly thuy?t day - m?t ly thuy?t khoa h?c v?n ?ang trong giai ?o?n hình thành v?i c? g?ng th?ng nh?t t?t c? các t??ng tác c? b?n trong t? nhiên - ti?p t?c g?i h?ng cho nh?ng ly thuy?t toán h?c m?i. M?t s? ly thuy?t toán h?c ch? có ích trong l?nh v?c ?? giúp t?o ra chúng, và ???c áp d?ng ?? gi?i các bài toán khác trong l?nh v?c ?ó. Nh?ng th??ng thì toán h?c sinh ra trong m?t l?nh v?c có th? h?u ích trong nhi?u l?nh v?c, và ?óng góp vào kho tàng các khái ni?m toán h?c.

Các nhà toán h?c phan bi?t ra hai ngành toán h?c thu?n túy và toán h?c ?ng d?ng. Tuy v?y các ch? ?? toán h?c thu?n túy th??ng tìm th?y m?t s? ?ng d?ng, ch?ng h?n nh? ly thuy?t s? trong ngành m?t m? h?c. Vi?c ngay c? toán h?c "thu?n túy nh?t" hóa ra c?ng có ?ng d?ng th?c t? chính là ?i?u mà Eugene Wigner g?i là "s? h?u hi?u ??n m?c khó tin c?a toán h?c". Gi?ng nh? trong h?u h?t các ngành h?c thu?t, s? bùng n? tri th?c trong th?i ??i khoa h?c ?? d?n ??n s? chuyên m?n hóa: hi?n nay có hàng tr?m l?nh v?c toán h?c chuyên bi?t và b?ng phan lo?i các ch? ?? toán h?c ?? dài t?i 46 trang. M?t vài l?nh v?c toán h?c ?ng d?ng ?? nh?p vào nh?ng l?nh v?c liên quan n?m ngoài toán h?c và tr? thành nh?ng ngành riêng, trong ?ó có xác su?t, v?n trù h?c, và khoa h?c máy tính.

Nh?ng ai yêu thích ngành toán th??ng th?y toán h?c có m?t v? ??p nh?t ??nh. Nhi?u nhà toán h?c nói v? "s? thanh l?ch" c?a toán h?c, tính th?m m? n?i t?i và v? ??p bên trong c?a nó. H? coi tr?ng s? gi?n ??n và tính t?ng quát. V? ??p ?n ch?a c? bên trong nh?ng ch?ng minh toán h?c ??n gi?n và g?n nh?, ch?ng h?n ch?ng minh c?a Euclid cho th?y có v? h?n s? nguyên t?, và trong nh?ng ph??ng pháp s? giúp ??y nhanh các phép tính toán, nh? phép bi?n ??i Fourier nhanh. Trong cu?n sách L?i bào ch?a c?a m?t nhà toán h?c (A Mathematician's Apology) c?a mình, G. H. Hardy tin r?ng chính nh?ng ly do v? m?t th?m m? này ?? ?? bi?n minh cho vi?c nghiên c?u toán h?c thu?n túy. ?ng nh?n th?y nh?ng tiêu chu?n sau ?ay ?óng góp vào m?t v? ??p toán h?c: t?m quan tr?ng, tính kh?ng l??ng tr??c ???c, tính kh?ng th? tránh ???c, và s? ng?n g?n. S? ph? bi?n c?a toán h?c vì m?c ?ích gi?i trí là m?t d?u hi?u khác cho th?y nhi?u ng??i tìm th?y s? s?ng khoái trong vi?c gi?i toán...

Ky hi?u, ng?n ng?, tính ch?t ch?

Bài chi ti?t: Danh sách ky hi?u toán h?c

Leonhard Euler, ng??i t?o ra và ph? bi?n h?u h?t các ky hi?u toán h?c ???c dùng ngày nay.

H?u h?t các ky hi?u toán h?c ?ang dùng ngày nay ch? m?i ???c phát minh vào th? k? 16. Tr??c ?ó, toán h?c ???c vi?t ra b?ng ch?, quá trình nh?c nh?n này ?? c?n tr? s? phát tri?n c?a toán h?c. Euler (1707–1783) là ng??i t?o ra nhi?u trong s? nh?ng ky hi?u ?ang ???c dùng ngày nay. Ky hi?u hi?n ??i làm cho toán h?c tr? nên d? h?n ??i v?i chuyên gia toán h?c, nh?ng ng??i m?i b?t ??u h?c toán th??ng th?y n?n lòng. Các ky hi?u c?c k? ng?n g?n: m?t vài bi?u t??ng ch?a ??ng r?t nhi?u th?ng tin. Gi?ng ky hi?u am nh?c, ky hi?u toán h?c hi?n ??i có cú pháp ch?t ch? và ch?a ??ng th?ng tin khó có th? vi?t theo m?t cách khác ?i.

Ng?n ng? toán h?c có th? khó hi?u ??i v?i ng??i m?i b?t ??u. Nh?ng t? nh? ho?c và ch? có ngh?a chính xác h?n so v?i trong l?i nói hàng ngày. Ngoài ra, nh?ng t? nh? m? và tr??ng ?? ???c cho nh?ng ngh?a riêng trong toán h?c. Nh?ng thu?t ng? mang tính k? thu?t nh? phép ??ng ph?i và kh? tích có ngh?a chính xác trong toán h?c. Thêm vào ?ó là nh?ng c?m t? nh? n?u và ch? n?u n?m trong thu?t ng? chuyên ngành toán h?c. Có ly do t?i sao c?n có ky hi?u ??c bi?t và v?n t? v?ng chuyên ngành: toán h?c c?n s? chính xác h?n l?i nói th??ng ngày. Các nhà toán h?c g?i s? chính xác này c?a ng?n ng? và logic là "tính ch?t ch?."

Các l?nh v?c toán h?c

Bài chi ti?t: Các l?nh v?c toán h?c

Tr??c th?i kì Ph?c H?ng, toán h?c ch? ???c phan ra thành hai l?nh v?c chính là s? h?c - nghiên c?u các phép toán v?i nh?ng con s? và hình h?c - nghiên c?u v? các hình d?ng. K? c? nh?ng ngành ng?y khoa h?c nh? th?n s? h?c và thiên v?n h?c, khi ?ó c?ng ch?a ???c tách bi?t r? ràng kh?i toán h?c.

Trong th?i kì Ph?c H?ng, hai l?nh v?c m?i xu?t hi?n. Các kí hi?u toán h?c làm n?y sinh ??i s?, ngành mà ? ?ó nghiên c?u t?p trung vào các c?ng th?c. Gi?i tích - v?i gi?i h?n và tích phan - nghiên c?u t?p trung vào các hàm s? liên t?c, và s? thay ??i c?a chúng theo các bi?n cho tr??c. M?t vài l?nh v?c nh? c? h?c thiên th? hay c? h?c v?t r?n khi ?ó c?ng ???c nghiên c?u b?i toán, nh?ng gi? l?i là các phan ngành chính c?a v?t ly h?c.T? h?p c?ng ???c nghiên c?u nhi?u trong l?ch s?, nh?ng ch? tr? thành m?t l?nh v?c riêng k? t? th? k? th? m??i b?y.

Cu?i th? k? m??i chín, nh?ng nghiên c?u tri?t h?c v? ngu?n g?c c?a toán h?c và k?t qu? c?a s? h? th?ng hóa c?a các tiên ?? ?? t?o ra nhi?u ngành toán h?c m?i. Phan l?p L?nh v?c Toán h?c (ti?ng Anh: Mathematics Subject Classification - MSC) n?m 2020 ?? ch? ra r?ng có ít nh?t sáu m??i ba ngành toán h?c ??c l?p, m?t vài trong s? ?ó ch? xu?t hi?n t? th? k? XX là logic toán h?c và ngu?n g?c toán h?c.

N?n t?ng và tri?t h?c

Bi?u ?? Venn th??ng ???c s? d?ng ?? miêu t? quan h? gi?a các t?p h?p.

?? làm r? n?n t?ng toán h?c, l?nh v?c logic toán h?c và ly thuy?t t?p h?p ?? ???c phát tri?n. Logic toán h?c bao g?m nghiên c?u toán h?c v? logic và ?ng d?ng c?a logic hình th?c trong nh?ng l?nh v?c toán h?c khác. Ly thuy?t t?p h?p là m?t nhánh toán h?c nghiên c?u các t?p h?p hay t?p h?p nh?ng ??i t??ng. Ly thuy?t ph?m trù, liên quan ??n vi?c x? ly các c?u trúc và m?i quan h? gi?a chúng b?ng ph??ng pháp tr?u t??ng, v?n ?ang ti?p t?c phát tri?n. C?m t? "kh?ng ho?ng n?n t?ng" nói ??n c?ng cu?c tìm ki?m m?t n?n t?ng toán h?c ch?t ch? di?n ra t? kho?ng n?m 1900 ??n 1930. M?t s? b?t ??ng v? n?n t?ng toán h?c v?n còn t?n t?i cho ??n ngày nay. Cu?c kh?ng ho?ng n?n t?ng n?i lên t? m?t s? tranh c?i th?i ?ó, trong ?ó có nh?ng tranh c?i liên quan ??n ly thuy?t t?p h?p c?a Cantor và cu?c tranh c?i gi?a Brouwer và Hilbert.

Khoa h?c máy tính ly thuy?t bao g?m ly thuy?t kh? tính (computability theory), ly thuy?t ?? ph?c t?p tính toán, và ly thuy?t th?ng tin. Ly thuy?t kh? tính kh?o sát nh?ng gi?i h?n c?a nh?ng m? hình ly thuy?t khác nhau v? máy tính, bao g?m m? hình máy Turing n?i ti?ng. Ly thuy?t ?? ph?c t?p nghiên c?u kh? n?ng có th? gi?i ???c b?ng máy tính; m?t s? bài toán, m?c dù v? ly thuy?t có th? gi?i ???c b?ng máy tính, c?n th?i gian hay kh?ng gian tính toán quá l?n, làm cho vi?c tìm l?i gi?i trong th?c t? g?n nh? kh?ng th?, ngay c? v?i s? ti?n b? nhanh chóng c?a ph?n c?ng máy tính. M?t ví d? là bài toán n?i ti?ng "P = NP?". Cu?i cùng, ly thuy?t th?ng tin quan tam ??n kh?i l??ng d? li?u có th? l?u tr? ???c trong m?t m?i tr??ng l?u tr? nh?t ??nh, và do ?ó liên quan ??n nh?ng khái ni?m nh? nén d? li?u và entropy th?ng tin.

$p\Rightarrow q\,$
Logic toán h?c	Ly thuy?t t?p h?p	Ly thuy?t ph?m trù	Ly thuy?t tính toán

Toán h?c thu?n túy

S? h?c

Bài chi ti?t: Ly thuy?t s?

Vi?c nghiên c?u v? l??ng (quantity) b?t ??u v?i các con s?, tr??c h?t v?i s? t? nhiên và s? nguyên và các phép bi?n ??i s? h?c, nói ??n trong l?nh v?c s? h?c. Nh?ng tính ch?t sau h?n v? các s? nguyên ???c nghiên c?u trong ly thuy?t s?, trong ?ó có ??nh ly l?n Fermat n?i ti?ng. Trong ly thuy?t s?, gi? thi?t s? nguyên t? sinh ??i và gi? thi?t Goldbach là hai bài toán ch?a gi?i ???c.

Khi h? th?ng s? ???c phát tri?n thêm, các s? nguyên ???c xem nh? là t?p con c?a các s? h?u t?. Các s? này l?i ???c bao g?m trong s? th?c v?n ???c dùng ?? th? hi?n nh?ng ??i l??ng liên t?c. S? th?c ???c t?ng quát hóa thành s? ph?c. ?ay là nh?ng b??c ??u tiên trong phan b? các s?, sau ?ó thì có các quaternion (m?t s? m? r?ng c?a s? ph?c) và octonion. Vi?c xem xét các s? t? nhiên c?ng d?n ??n các s? v? h?n (transfinite numbers), t? ?ó chính th?c hóa khái ni?m "v? h?n". M?t l?nh v?c nghiên c?u khác là kích c? (size), t? ?ó sinh ra s? ??m (cardinal numbers) và r?i m?t khái ni?m khác v? v? h?n: s? aleph, cho phép th?c hi?n so sánh có y ngh?a kích c? c?a các t?p h?p l?n v? h?n.

$0,1,2,3,\ldots \!$	$0,1,-1,2,-2,3,-3,\ldots$	$-2,\ {\frac {1}{4}},\ 0.37,\ldots$	$-e,\ {\sqrt {2}},\ 3,\ \pi ,\ldots$	$-1,\ i,$$\ 2+3i,\ 2e^{i{\frac {4\pi }{3}}},\ldots$	$\aleph _{0}.\ \aleph _{1},\ \aleph _{2},\ldots ,\ \aleph _{\alpha },\ldots$
S? t? nhiên	S? nguyên	S? h?u t?	S? th?c	S? ph?c	S? v? h?n

C?u trúc

Bài chi ti?t: C?u trúc toán h?c

Nhi?u ??i t??ng toán h?c, ch?ng h?n t?p h?p nh?ng con s? và nh?ng hàm s?, th? hi?n c?u trúc n?i t?i toát ra t? nh?ng phép bi?n ??i toán h?c hay nh?ng m?i quan h? ???c xác ??nh trên t?p h?p. Toán h?c t? ?ó nghiên c?u tính ch?t c?a nh?ng t?p h?p có th? ???c di?n t? d??i d?ng c?u trúc ?ó; ch?ng h?n ly thuy?t s? nghiên c?u tính ch?t c?a t?p h?p nh?ng s? nguyên có th? ???c di?n t? d??i d?ng nh?ng phép bi?n ??i s? h?c. Ngoài ra, th??ng thì nh?ng t?p h?p có c?u trúc (hay nh?ng c?u trúc) khác nhau ?ó th? hi?n nh?ng tính ch?t gi?ng nhau, khi?n ng??i ta có th? xay d?ng nên nh?ng tiên ?? cho m?t l?p c?u trúc, r?i sau ?ó nghiên c?u ??ng lo?t toàn b? l?p c?u trúc th?a m?n nh?ng tiên ?? này. Do ?ó ng??i ta có th? nghiên c?u các nhóm, vành, tr??ng, và nh?ng h? ph?c t?p khác; nh?ng nghiên c?u nh? v?y (v? nh?ng c?u trúc ???c xác ??nh b?i nh?ng phép bi?n ??i ??i s?) t?o thành l?nh v?c ??i s? tr?u t??ng. V?i m?c ?? t?ng quát cao c?a mình, ??i s? tr?u t??ng th??ng có th? ???c áp d?ng vào nh?ng bài toán d??ng nh? kh?ng liên quan gì ??n nhau. M?t ví d? v? ly thuy?t ??i s? là ??i s? tuy?n tính, l?nh v?c nghiên c?u v? các kh?ng gian vect?, ? ?ó nh?ng y?u t? c?u thành nó g?i là vect? có c? l??ng và h??ng và chúng có th? ???c dùng ?? m? ph?ng các ?i?m (hay m?i quan h? gi?a các ?i?m) trong kh?ng gian. ?ay là m?t ví d? v? nh?ng hi?n t??ng b?t ngu?n t? nh?ng l?nh v?c hình h?c và ??i s? ban ??u kh?ng liên quan gì v?i nhau nh?ng l?i t??ng tác r?t m?nh v?i nhau trong toán h?c hi?n ??i. Toán h?c t? h?p nghiên c?u nh?ng cách tính s? l??ng nh?ng ??i t??ng có th? x?p ???c vào trong m?t c?u trúc nh?t ??nh.

${\begin{matrix}(1,2,3)&(1,3,2)\\(2,1,3)&(2,3,1)\\(3,1,2)&(3,2,1)\end{matrix}}$
Toán h?c t? h?p	Ly thuy?t s?	Ly thuy?t nhóm	Ly thuy?t ?? th?	Ly thuy?t tr?t t?	??i s?

Kh?ng gian

Bài chi ti?t: Hình h?c

Vi?c nghiên c?u kh?ng gian b?t ??u v?i hình h?c - c? th? là hình h?c Euclid. L??ng giác là m?t l?nh v?c toán h?c nghiên c?u v? m?i quan h? gi?a các c?nh và góc c?a tam giác và v?i các hàm l??ng giác; nó k?t h?p kh?ng gian và các con s?, và bao g?m ??nh ly Pythagore n?i ti?ng. Ngành h?c hi?n ??i v? kh?ng gian t?ng quát hóa nh?ng y t??ng này ?? bao g?m hình h?c nhi?u chi?u h?n, hình h?c phi Euclide (?óng vai trò quan tr?ng trong ly thuy?t t??ng ??i t?ng quát), và t? p?. C? l??ng và kh?ng gian ??u ?óng vai trò trong hình h?c gi?i tích, hình h?c vi phan, và hình h?c ??i s?. Hình h?c l?i và hình h?c r?i r?c tr??c ?ay ???c phát tri?n ?? gi?i các bài toán trong ly thuy?t s? và gi?i tích phi?m hàm thì nay ?ang ???c nghiên c?u cho các ?ng d?ng trong t?i ?u hóa (t?i ?u l?i) và khoa h?c máy tính (hình h?c tính toán). Trong hình h?c vi phan có các khái ni?m bó s?i (fiber bundles) và vi tích phan trên các ?a t?p, ??c bi?t là vi tích phan vect? và vi tích phan tensor. Hình h?c ??i s? thì m? t? các ??i t??ng hình h?c d??i d?ng l?i gi?i là nh?ng t?p h?p ph??ng trình ?a th?c, cùng v?i nh?ng khái ni?m v? l??ng và kh?ng gian, c?ng nh? nghiên c?u v? các nhóm t?-p? k?t h?p c?u trúc và kh?ng gian. Các nhóm Lie ???c dùng ?? nghiên c?u kh?ng gian, c?u trúc, và s? thay ??i. T? p? trong t?t c? nh?ng khía c?nh c?a nó có th? là m?t l?nh v?c phát tri?n v? ??i nh?t c?a toán h?c th? k? 20; nó bao g?m t?-p? t?p h?p ?i?m (point-set topology), t?-p? ly thuy?t t?p h?p (set-theoretic topology), t?-p? ??i s? và t?-p? vi phan (differential topology). Trong ?ó, nh?ng ch? ?? c?a t?-p? hi?n ??i là ly thuy?t kh?ng gian mêtric hóa ???c (metrizability theory), ly thuy?t t?p h?p tiên ?? (axiomatic set theory), ly thuy?t ??ng luan (homotopy theory), và ly thuy?t Morse. T?-p? c?ng bao g?m gi? thuy?t Poincaré nay ?? gi?i ???c, và gi? thuy?t Hodge v?n ch?a gi?i ???c. Nh?ng bài toán khác trong hình h?c và t?-p?, bao g?m ??nh ly b?n màu và gi? thi?t Kepler, ch? gi?i ???c v?i s? tr? giúp c?a máy tính.

Hình h?c	L??ng giác	Hình h?c vi phan	T? p?	Hình h?c fractal	Ly thuy?t ?? ?o

S? thay ??i

Bài chi ti?t: Gi?i tích và Vi tích phan

Hi?u và m? t? s? thay ??i là ch? ?? th??ng g?p trong các ngành khoa h?c t? nhiên. Vi tích phan là m?t c?ng c? hi?u qu? ?? ???c phát tri?n ?? nghiên c?u s? thay ??i ?ó. Hàm s? t? ?ay ra ??i, nh? m?t khái ni?m trung tam m? t? m?t ??i l??ng ?ang thay ??i. Vi?c nghiên c?u ch?t ch? các s? th?c và hàm s? c?a m?t bi?n th?c ???c g?i là gi?i tích th?c, v?i s? ph?c thì có l?nh v?c t??ng t? g?i là gi?i tích ph?c. Gi?i tích phi?m hàm (functional analysis) t?p trung chú y vào nh?ng kh?ng gian th??ng là v? h?n chi?u c?a hàm s?. M?t trong nhi?u ?ng d?ng c?a gi?i tích phi?m hàm là trong c? h?c l??ng t? (ví d?: ly thuy?t phi?m hàm m?t ??). Nhi?u bài toán m?t cách t? nhiên d?n ??n nh?ng m?i quan h? gi?a l??ng và t?c ?? thay ??i c?a nó, r?i ???c nghiên c?u d??i d?ng các ph??ng trình vi phan. Nhi?u hi?n t??ng trong t? nhiên có th? ???c m? t? b?ng nh?ng h? th?ng ??ng l?c; ly thuy?t h?n ??n nghiên c?u cách th?c theo ?ó nhi?u trong s? nh?ng h? th?ng ??ng l?c này th? hi?n nh?ng hành vi kh?ng tiên ?oán ???c nh?ng v?n có tính t?t ??nh.

Vi tích phan	Gi?i tích véc t?	Ph??ng trình vi phan	H? th?ng ??ng l?c	Ly thuy?t h?n ??n	Gi?i tích ph?c

Toán h?c ?ng d?ng

Bài chi ti?t: Toán h?c ?ng d?ng

Toán h?c ?ng d?ng quan tam ??n nh?ng ph??ng pháp toán h?c th??ng ???c s? d?ng trong khoa h?c, k? thu?t, kinh doanh, và c?ng nghi?p. Nh? v?y, "toán h?c ?ng d?ng" là m?t ngành khoa h?c toán h?c v?i ki?n th?c ??c thù. Thu?t ng? toán h?c ?ng d?ng c?ng ???c dùng ?? ch? l?nh v?c chuyên nghi?p, ? ?ó các nhà toán h?c gi?i quy?t các bài toán th?c t?. V?i t? cách là m?t ngành ngh? chú tr?ng vào các bài toán th?c t?, toán h?c ?ng d?ng t?p trung vào "vi?c thi?t l?p, nghiên c?u, và s? d?ng nh?ng m? hình toán h?c" trong khoa h?c, k? thu?t, và nh?ng l?nh v?c th?c hành toán h?c khác. Tr??c ?ay, nh?ng ?ng d?ng th?c t? ?? thúc ??y s? phát tri?n các ly thuy?t toán h?c, ?? r?i sau ?ó tr? thành ch? ?? nghiên c?u trong toán h?c thu?n túy, n?i toán h?c ???c phát tri?n ch? y?u cho chính nó. Nh? v?y, ho?t ??ng c?a toán h?c ?ng d?ng nh?t thi?t có liên h? ??n nghiên c?u trong l?nh v?c toán h?c thu?n túy.

Th?ng kê và nh?ng l?nh v?c liên quan

Bài chi ti?t: Xác su?t và Th?ng kê

Toán h?c ?ng d?ng có nhi?u ph?n chung v?i th?ng kê, ??c bi?t v?i ly thuy?t xác su?t. Các nhà th?ng kê, khi làm vi?c trong m?t c?ng trình nghiên c?u, "t?o ra s? li?u có y ngh?a" s? d?ng ph??ng pháp t?o m?u ng?u nhiên (random sampling) và nh?ng thí nghi?m ???c ng?u nhiên hóa (randomized experiments); vi?c thi?t k? thí nghi?m hay m?u th?ng kê xác ??nh ph??ng pháp phan tích s? li?u (tr??c khi s? li?u ???c t?o ra). Khi xem xét l?i s? li?u t? các thí nghi?m và các m?u hay khi phan tích s? li?u t? nh?ng nghiên c?u b?ng cách quan sát, các nhà th?ng kê "làm b?t ra y ngh?a c?a s? li?u" s? d?ng ph??ng pháp m? ph?ng và suy lu?n – qua vi?c ch?n m?u và qua ??c tính; nh?ng m?u ??c tính và nh?ng tiên ?oán có ???c t? ?ó c?n ???c th? nghi?m v?i nh?ng s? li?u m?i.

Ly thuy?t th?ng kê nghiên c?u nh?ng bài toán liên quan ??n vi?c quy?t ??nh, ví d? gi?m thi?u nguy c? (s? t?n th?t ???c mong ??i) c?a m?t hành ??ng mang tính th?ng kê, ch?ng h?n s? d?ng ph??ng pháp th?ng kê trong ??c tính tham s?, ki?m nghi?m gi? thuy?t, và ch?n ra tham s? cho k?t qu? t?t nh?t. Trong nh?ng l?nh v?c truy?n th?ng này c?a th?ng kê toán h?c, bài toán quy?t ??nh-th?ng kê ???c t?o ra b?ng cách c?c ti?u hóa m?t hàm m?c tiêu (objective function), ch?ng h?n giá thành hay s? m?t mát ???c mong ??i, d??i nh?ng ?i?u ki?n nh?t ??nh. Vì có s? d?ng ly thuy?t t?i ?u hóa, ly thuy?t toán h?c v? th?ng kê có chung m?i quan tam v?i nh?ng ngành khoa h?c khác nghiên c?u vi?c quy?t ??nh, nh? v?n trù h?c, ly thuy?t ?i?u khi?n, và kinh t? h?c toán.

Toán h?c tính toán

Toán h?c tính toán ??a ra và nghiên c?u nh?ng ph??ng pháp gi?i các bài toán toán h?c mà con ng??i th??ng kh?ng có kh? n?ng gi?i s? ???c. Gi?i tích s? nghiên c?u nh?ng ph??ng pháp gi?i các bài toán trong gi?i tích s? d?ng gi?i tích phi?m hàm và ly thuy?t x?p x?; gi?i tích s? bao g?m vi?c nghiên c?u x?p x? và r?i r?c hóa theo ngh?a r?ng, v?i s? quan tam ??c bi?t ??n sai s? làm tròn (rounding errors). Gi?i tích s? và nói r?ng h?n tính toán khoa h?c (scientific computing) c?ng nghiên c?u nh?ng ch? ?? phi gi?i tích nh? khoa h?c toán h?c, ??c bi?t là ma tr?n thu?t toán và ly thuy?t ?? th?. Nh?ng l?nh v?c khác c?a toán h?c tính toán bao g?m ??i s? máy tính (computer algebra) và tính toán bi?u t??ng (symbolic computation).

V?t ly toán h?c	Th?y ??ng l?c h?c	Gi?i tích s?	T?i ?u hóa	Ly thuy?t xác su?t	Th?ng kê	M?t m? h?c
Tài chính toán	Ly thuy?t trò ch?i	Sinh h?c toán	Hóa h?c toán	Toán sinh h?c	Kinh t? toán	Ly thuy?t ?i?u khi?n

Gi?i th??ng toán h?c và nh?ng bài toán ch?a gi?i ???c

Bài chi ti?t: Huy ch??ng Fields, Gi?i th??ng Abel, và Các bài toán thiên niên k?

Có th? nói gi?i th??ng toán h?c danh giá nh?t là Huy ch??ng Fields, thi?t l?p vào n?m 1936 và nay ???c trao b?n n?m m?t l?n cho 2 ??n 4 nhà toán h?c có ?? tu?i d??i 40. Huy ch??ng Fields th??ng ???c xem là t??ng ???ng v?i Gi?i Nobel trong nh?ng l?nh v?c khác. (Gi?i Nobel kh?ng xét trao th??ng trong l?nh v?c toán h?c) M?t s? gi?i th??ng qu?c t? quan tr?ng khác g?m có: Gi?i Wolf v? Toán h?c (thi?t l?p vào n?m 1978) ?? ghi nh?n thành t?u tr?n ??i; Gi?i Abel (thi?t l?p vào n?m 2003) dành cho nh?ng nhà toán h?c xu?t chúng; Huy ch??ng Chern (thi?t l?p vào n?m 2010) ?? ghi nh?n thành t?u tr?n ??i.

N?m 1900, nhà toán h?c ng??i ??c David Hilbert biên so?n m?t danh sách g?m 23 bài toán ch?a có l?i gi?i (còn ???c g?i là Các bài toán c?a Hilbert). Danh sách này r?t n?i ti?ng trong c?ng ??ng các nhà toán h?c, và ngày nay có ít nh?t chín bài ?? ???c gi?i. M?t danh sách m?i bao g?m b?y bài toán quan tr?ng, g?i là "Các bài toán c?a gi?i thiên niên k?" (Millennium Prize Problems), ?? ???c c?ng b? vào n?m 2000, ai gi?i ???c m?t trong s? các bài toán này s? ???c trao gi?i m?t tri?u ??-la. Ch? có m?t bài toán t? danh sách c?a Hilbert (c? th? là gi? thuy?t Riemann) trong danh sách m?i này. T?i nay, m?t trong s? b?y bài toán ?ó (gi? thuy?t Poincaré) ?? có l?i gi?i.

M?i quan h? gi?a toán h?c và khoa h?c

Carl Friedrich Gauss, ng??i ???c xem là "hoàng t? c?a toán h?c."

Gauss xem toán h?c là "hoàng t? c?a các ngành khoa h?c". Trong c?m t? La-tinh Regina Scientiarum và c?m t? ti?ng ??c K?nigin der Wissenschaften (c? hai ??u có ngh?a là "n? hoàng c?a các ngành khoa h?c"), t? ch? "khoa h?c" có ngh?a là "l?nh v?c tri th?c," và ?ay c?ng chính là ngh?a g?c c?a t? science (khoa h?c) trong ti?ng Anh; nh? v?y toán h?c là m?t l?nh v?c tri th?c. S? chuyên bi?t hóa gi?i h?n ngh?a c?a "khoa h?c" vào "khoa h?c t? nhiên" theo sau s? phát tri?n c?a ph??ng pháp lu?n Bacon, t? ?ó ??i l?p "khoa h?c t? nhiên" v?i ph??ng pháp kinh vi?n, ph??ng pháp lu?n Aristotle nghiên c?u t? nh?ng nguyên ly c? s?. So v?i các ngành khoa h?c t? nhiên nh? sinh h?c hay v?t ly h?c thì th?c nghi?m và quan sát th?c t? có vai trò kh?ng ?áng k? trong toán h?c. Albert Einstein nói r?ng "khi các ??nh lu?t toán h?c còn phù h?p v?i th?c t?i thì chúng kh?ng ch?c ch?n; và khi mà chúng ch?c ch?n thì chúng kh?ng còn phù h?p v?i th?c t?i." M?i ?ay h?n, Marcus du Sautoy ?? g?i toán h?c là "n? hoàng c?a các ngành khoa h?c;... ??ng l?c thúc ??y chính ??ng sau nh?ng phát ki?n khoa h?c."

Nhi?u tri?t gia tin r?ng, trong toán h?c, tính có th? ch?ng minh ???c là sai (falsifiability) kh?ng th? th?c hi?n ???c b?ng th?c nghi?m, và do ?ó toán h?c kh?ng ph?i là m?t ngành khoa h?c theo nh? ??nh ngh?a c?a Karl Popper. Tuy nhiên, trong th?p niên 1930, các ??nh ly v? tính kh?ng ??y ?? (incompleteness theorems) c?a G?del ??a ra g?i y r?ng toán h?c kh?ng th? b? quy gi?m v? logic mà th?i, và Karl Popper k?t lu?n r?ng "h?u h?t các ly thuy?t toán h?c, gi?ng nh? các ly thuy?t v?t ly và sinh h?c, mang tính gi? ??nh-suy di?n: toán h?c thu?n túy do ?ó tr? nên g?n g?i h?n v?i các ngành khoa h?c t? nhiên n?i gi? ??nh mang tính ch?t suy ?oán h?n h?n m?c mà ng??i ta ngh?."

M?t quan ?i?m khác thì cho r?ng m?t s? l?nh v?c khoa h?c nh?t ??nh (nh? v?t ly ly thuy?t) là toán h?c v?i nh?ng tiên ?? ???c t?o ra ?? k?t n?i v?i th?c t?i. Th?c s?, nhà v?t ly ly thuy?t J. M. Ziman ?? cho r?ng khoa h?c là "tri th?c chung" và nh? th? bao g?m c? toán h?c. Dù sao ?i n?a, toán h?c có nhi?u ?i?m chung v?i nhi?u l?nh v?c trong các ngành khoa h?c v?t ly, ?áng chú y là vi?c kh?o sát nh?ng h? qu? logic c?a các gi? ??nh. Tr?c giác và ho?t ??ng th?c nghi?m c?ng ?óng m?t vai trò trong vi?c xay d?ng nên các gi? thuy?t trong toán h?c l?n trong nh?ng ngành khoa h?c (khác). Toán h?c th?c nghi?m ngày càng ???c chú y trong b?n than ngành toán h?c, và vi?c tính toán và m? ph?ng ?ang ?óng vai trò ngày càng l?n trong c? khoa h?c l?n toán h?c.

Y ki?n c?a các nhà toán h?c v? v?n ?? này kh?ng th?ng nh?t. M?t s? c?m th?y vi?c g?i toán h?c là khoa h?c làm gi?m t?m quan tr?ng c?a khía c?nh th?m m? c?a nó, và l?ch s? c?a nó trong b?y m?n khai phóng truy?n th?ng; m?t s? ng??i khác c?m th?y r?ng b? qua m?i quan h? gi?a toán h?c và các ngành khoa h?c là c? tình làm ng? tr??c th?c t? là s? t??ng tác gi?a toán h?c và nh?ng ?ng d?ng c?a nó trong khoa h?c và k? thu?t ?? là ??ng l?c chính c?a nh?ng phát tri?n trong toán h?c. S? khác bi?t quan ?i?m này b?c l? trong cu?c tranh lu?n tri?t h?c v? chuy?n toán h?c "???c t?o ra" (nh? ngh? thu?t) hay "???c khám phá ra" (nh? khoa h?c). Các vi?n ??i h?c th??ng có m?t tr??ng hay phan khoa "khoa h?c và toán h?c". Cách g?i tên này ng?m y r?ng khoa h?c và toán h?c g?n g?i v?i nhau nh?ng kh?ng ph?i là m?t.

Xem thêm

• Danh sách các nhà toán h?c
• Danh sách các bài toán toán h?c

Tham kh?o

• Toán h?c là gì?, Richard Courant (1888-1972) và Herbert Robbins (1915-2001), Nhà xu?t b?n ??i h?c Oxford 1941. Hàn Liên H?i d?ch, Nhà xu?t b?n Khoa h?c K? thu?t 1984.
• [Tác gi??]. Toán h?c (B? sách Tri th?c tu?i hoa niên th? k? XXI). T? V?n M?c, T? Thu H?ng d?ch. Nhà xu?t b?n. V?n hóa Th?ng tin, 2001, 470 tr..
• Nguy?n ?ình Trí, T? V?n ??nh, Nguy?n H? Qu?nh Toán h?c cao c?p T?p m?t: ??i s? và hình h?c gi?i tích. Nhà xu?t b?n Giáo d?c. Tháng 10 n?m 2006. 393 trang
• S. M. Nikol skij (ch.b.). T? ?i?n bách khoa ph? th?ng toán h?c. Hoàng Quy, Nguy?n V?n Ban, và Hoàng Chúng d?ch. Nhà xu?t b?n. Giáo d?c, 2001, 454 tr.
• Howard Eves. Gi?i thi?u l?ch s? toán h?c. Tr?n T?t Th?ng d?ch. Nhà xu?t b?n. Tp. H? Chí Minh, 1993, 518 tr.
• Benson, Donald C., The Moment of Proof: Mathematical Epiphanies, Oxford University Press: new ed. (Dec. 14, 2000). ISBN 0-19-513919-4.
• Boyer, Carl B. A History of Mathematics. Wiley: 2nd ed. (Mar. 6, 1991). ISBN 0-471-54397-7.
• Courant, R. and H. Robbins. What Is Mathematics?: An Elementary Approach to Ideas and Methods. Oxford University Press, USA: 2nd ed. (Jul. 18, 1996). ISBN 0-19-510519-2.
• Davis, Philip J. and Hersh, Reuben. The Mathematical Experience. Mariner Books: Reprint ed. (Jan. 14, 1999). ISBN 0-395-92968-7.
• Einstein, Albert (1923). "Sidelights on Relativity (Geometry and Experience)". P. Dutton., Co. {{Chú thích t?p chí}}: Chú thích magazine c?n |magazine= (tr? giúp)
• Eves, Howard. An Introduction to the History of Mathematics. Saunders: 6th ed., 1990. ISBN 0-03-029558-0.
• Gullberg, Jan. Mathematics—From the Birth of Numbers. W. W. Norton & Company: 1st ed. (Oct. 1997). ISBN 0-393-04002-X.
• Hazewinkel, Michiel (ed.), Encyclopaedia of Mathematics. Kluwer Academic Publishers, 2000.
• Jourdain, Philip E. B.. "The Nature of Mathematics," trong The World of Mathematics. James R. Newman, editor. Dover Publications, 2003. ISBN 0-486-43268-8.
• Kline, Morris. Mathematical Thought from Ancient to Modern Times. Oxford University Press (Mar. 1, 1990). ISBN 0-19-506135-7.
• Monastyrsky, Michael (2001). "Some Trends in Modern Mathematics and the Fields Medal" (PDF). Canadian Mathematical Society. Truy c?p ngày 28 tháng 7 n?m 2006. {{Chú thích t?p chí}}: Chú thích magazine c?n |magazine= (tr? giúp)
• Pappas, Theoni. The Joy Of Mathematics. Wide World Publishing: revised edition (Jun. 1989). ISBN 0-933174-65-9.
• Peterson, Ivars. Mathematical Tourist, New and Updated Snapshots of Modern Mathematics. Owl Books, 2001. ISBN 0-8050-7159-8.
• Paulos, John Allen (1996). A Mathematician Reads the Newspaper. Anchor. ISBN 0-385-48254-X.
• Popper, Karl R. (1995). "On knowledge". In Search of a Better World: Lectures and Essays from Thirty Years. Routledge. ISBN 0-415-13548-6.
• Sevryuk, Mikhail B. (2006). "Book Reviews" (PDF). Bulletin of the American Mathematical Society. Quy?n 43 s? 1. tr. 101–109. doi:10.1090/S0273-2025-08-07069-4. Truy c?p ngày 24 tháng 6 n?m 2006.

Liên k?t ngoài

• Mathematics t?i Encyclop?dia Britannica (ti?ng Anh)
• Toán h?c t?i T? ?i?n bách khoa Vi?t Nam
• Vi?n Toán h?c. Vi?t Nam.
• Mathematics Các khóa h?c và bài gi?ng v? toán h?c. MIT OpenCourseWare.
• Weisstein, Eric W., "Mathematics" t? MathWorld.
• The Mathematical Atlas (B?n ?? các nhánh toán h?c).
• Vietnam Journal of Mathematics
• Acta Mathematica Vietnamica
• Toán h?c và tu?i tr?